第十一章三角形

　　11.1三角形有关的线段

　　11.1.1三角形的边

　　1.4;△BCF、△BCD、△BCA、△BCF

　　2.1<x<9;2,3,4,5,6,7,83.C4.B5.（1）△ABD,△ADC’,△ADE（2）△AEC，∠CAE（3）1:1:1,2:36.B7.A8.C9.（1）19cm（2）12cm，12cm（3）6cm，6cm，6cm（4）5cm，5cm，2cm10.（1）2<x<6（2）∴a>211.(1)3(2)至少需要408元钱购买材料.

　　11.1.2三角形的高、中线与角平分线

　　1.AD，AF，BE2.（1）BC边，ADB，ADC（2）角平分线，BAE，CAE，BAC（3）BF，S△CBF（4）△ABH的边BH，△AGF的边GF3.（1）略（2）交于一点，在三角形的内部，在三角形的边上，在三角形的外部4.（1）略（2）交于一点，在三角形的内部（3）三角形三边的中线的交点到顶点的距离与它到这一边的中点的线段的长之比为2:15.（1）略（2）交于一点，在三角形的内部（3）三角形三边的角平线的交点到三边的距离相等6.S△ABE=1cm27.4.8cm，12cm28.109.略10.∠D=88°,∠E=134°.

　　11.1.3三角形的稳定性

　　1.C2.三角形的稳定性3.不稳定性4.（1）（3）5.略6.C7.略8.略

　　11.2与三角形有关的角

　　11.2.1三角形的内角

　　1.三角形的三个内角和等于1802.(1)60(2)40(3)60(4)90°3.(1)锐角三角形(2)直角三角形(3)钝角三角形(4)钝角三角形4.1005.32°6.95°7.878.∠B=35°9.∠BMC=125°10.25°，85°11.60°12.∠ADB=80°13.∠DBC为18°,∠C为72°,∠BDC为90°14.（1）∠DAE=10°（2）∠C－∠B=2∠DAE，理由略

　　15.(1)∠1＋∠2=∠B＋∠C，理由略(2)=,280°(3)300°,60°,∠BDA＋∠CEA=2∠A

　　11.2.2三角形的外角

　　1.50°2.60°3.160°4.39°5.60°6.114°7.90°，余角，A，B8.120°9.43°，110°10.C11.D

　　12.115°13.36°14.24°15.30°，120°16.（1）55°（2）90°－0.5n°

　　17.∵∠AQB=∠CQD∴∠C+∠ADC=∠A+∠ABC，∠C=∠A+∠ABC－∠ADC同样地，∠A+∠ABM=∠M+∠ADM即2∠A+∠ABC=2∠M+∠ADC

　　∠ABC－∠ADC=2∠M－2∠A∴∠C=∠A+2∠M－2∠A=2∠M－∠A=2×33°－27°=39°

　　11.3多边形及其内角和

　　11.3.1多边形

　　1.∠BAE,∠ABC,∠C，∠D,∠DEA；∠1，∠22.（1）n，n，n（2）略3.C4.B

　　5.（1）2,3,5（2）n－3，n－2，n（n－3）/26.B7.B

　　8.(1)4，三角形个数与四边形边数相等(2)4，边数比个数大1(3)4，边数比个数大2

　　11.3.2多边形的内角和

　　1.180°,360°,(n－2)180,360°2.1800°,360°3.13,360°4.105.8,1080°6.107.B8.C

　　9.C10.D11.设这个五边形的每个内角的度数为2x，3x，4x，5x，6x，则（5－2）×180°=2x+3x+4x+5x+6x，解得x=27,∴这个五边形最小的内角为2x=54°

　　12.8；1080°13.设边数为n，则(n?2)?180??360?，n=8

　　14.4；1015.4,816.∠A:∠B=7:5，即∠A=1.4∠B∠A－∠C=∠B，即1.4∠B=∠B+∠C，即∠C=0.4∠B,∠C=∠D－40°，即∠D=0.4∠B+40°∠A+∠B+∠C+∠D=360°，即

　　1.4∠B+∠B+0.4∠B+0.4∠B+40°=360°，解得∠B=100°,所以，∠A=1.4∠B=140°，∠C=0.4∠B=40°，∠D=0.4∠B+40°=80°17.设这个多边形为n边形，则它的内角和=（n－2)180=2750+α,n=(2750+360+α)/180=18+(a－130)/180

　　∵α是正数，n是正整数∴n=18,α=130o

　　18.解法一：设边数为n，则(n－2)·180<600，n?5.

　　当n=5时，(n－2)·180°=540°，这时一个外角为60°；

　　当n=4时，(n－2)·180°=360°，这时一个外角为240°，不符合题意.

　　因此，这个多边形的边数为5，内角和为540°。

　　解法二：设边数为n，一个外角为α，则(n－2)·180+α=600，n?5?

　　∵0°<α<180°，n为正整数，∴131360??.18060??为整数，α=60°，这时n=5，内角和为(n－2)·180°=540°180

　　19.(1)180°（2）无变化∵∠BAC=∠C+∠E，∠FAD=∠B+∠D，

　　∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠DAE=180°

　　（3）无变化∵∠ACB=∠CAD+∠D，∠ECD=∠B+∠E，

　　∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°

　　第十一章综合练习

　　1.C2.B3.D4.C5.A6.C7.B8.B9.D10.3<x<1511.三角形的稳定性12.613.15或18cm14.13515.1cm216.75°17.40°18.74°19.60°

　　20.∵DF⊥AB，∠B＝42∴∠B＝90－∠D＝90－42＝48∵∠ACD是△ABC的外角,∠A＝35∴∠ACD＝∠B+∠A＝48+35＝83°

　　21.∵四边形内角和等于360°，∠A＝∠C＝90°∴∠ABC+∠ADC＝180°∵BE、DF分别是∠B、∠D的平分线∴∠1+∠2＝90°∵∠3+∠2＝90°∴∠1＝∠3

　　24.设∠DAE=x,则∠BAC=40°+x.因为∠B=∠C,所以2∠C=180°－∠BAC,

　　1111∠BAC=90°－(40°+x).同理∠AED=90°－∠DAE=90°－x.2222

　　11∠CDE=∠AED－∠C=(90°－x)－[90°－(40°+x)]=20°.22∠C=90°－

　　25.（1）在△ABC中，利用三角形内角和等于180°，可求∠ABC+∠ACB=180°－∠A，即可求∠ABC+∠ACB；同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB=180°－∠BXC，即可求∠XBC+∠XCB；140°，90°.（2）不发生变化，由于在△ABC中，∠A=40°，从而∠ABC+∠ACB是一个定值，即等于140°，同理在△XBC中，∠BXC=90°，那么∠XBC+∠XCB也是一个定值，等于90°，于是∠ABX+∠ACX的值不变，等于140°－90°=50°；（3）利用∠ABX+∠ACX=（∠ABC+∠ACB）－（∠XBC+∠XCB），把具体数值代入，化简即可求出.90°－n°.

　　第十二章全等三角形

　　12.1全等三角形

　　1.BC，∠D，∠DBA.2.∠F，FC.3.DC，∠BFC.4.12，6

　　5.74°，68°；AB与DC，BC与CB；AB与DC，AO与DO，BO与CO，∠A与∠D，∠AOB与∠DOC，∠ABO与∠DCO.

　　6.C7.B8.C9.C10.B11.垂直且相等.12.80°.13.∠OAD=95°

　　14.（1）∠F＝35°，DH＝6.（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF,∴AB∥DE.

　　15.AE与DE垂直且相等，证明略.

　　12.2三角形全等的判定（1）

　　1.20°2.SSS

　　3.∠QRM,△PRM,△QRM,RP,RQ,PRM,QRM,QM,RM,RM,公共边，△PRM,△QRM,SSS，∠QRM，全等三角形的对应角相等.

　　4.已知：如图11－17，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.△ABC，△DEF，已知，EF，DE，EF，DF，△ABC，△DEF，SSS，全等三角形的对应角相等.

　　5.CE，EB，DE，EA，CB，DA，CA，DB，CB，DA，AB，BA，SSS

　　6.可证△ABD≌△CAB，∴∠BAD＝∠ABC，∠CAB＝∠DBA，∴∠CAD＝∠DBC.

　　7.由SSS可证△ABC≌△CDA.8.略

　　9.（1）由SSS可证△ABD≌△ACD；（2）可证∠BDA＝∠ADC，又∠BDA+∠ADC=180°，所以AD⊥BC；（3）50°10.略

　　12.2三角形全等的判定（2）

　　1.25°.2.△AOD，△COB，已知，AOD，COB，对顶角相等，OB，已知，COB，SAS，全等三角形的对应角相等.3.略4.可利用SAS证明△ABD≌△ACD，所以∠B＝∠C.

　　5.∵DC⊥CA，EA⊥CA，∴∠C＝∠A＝90°，用SAS证△DCB≌△BAE.

　　6.∵AD＝AE，BD＝CE，∴AD+BD＝AE+CE，∴AB＝AC再用SAS证△ADC≌△AEB.得∠B＝∠C7.（1）∵AB∥ED，∴∠A＝∠D，∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF再用SAS证△ABC≌△DEF，得到BC＝EF（2）由△ABC≌△DEF，得到∠BCA＝∠EFD，∴BC∥EF.8.AB＝AD，AC＝AE，∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，即

　　∠BAC=∠DAE，∴△ABC≌△ADE，∴BC＝DE.

　　9.垂直且相等.延长AE，交CD于点F.依题意可得△ABE≌△CBD（SAS），∴AE=CD，∠EAB＝∠DCB，∠AFD=180°－∠EAB－∠BDC=180°－∠BCD－∠BDC=90°，∴AE⊥CD

　　12.2三角形全等的判定（3）

　　1.52.AC=AB(EC=EB)3.∠A=∠D4.∠E=∠D（∠BAE=∠CAD）5.略6.略

　　7.D8.B9.C

　　10.∵AD∥BC，DF∥BE∴∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，再用AAS证△ADF≌△CBE.

　　11.∵∠1＝∠2，∠CAD＝∠DBC，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠DBC，即∠CAB＝∠DBA，再用ASA证△CAB≌△DBA，得到AC＝BD.

　　12.∵BM∥DN，∴∠ABM＝∠D，∵AC＝BD，∴AC+CB＝BD+CB，即AB＝CD再用AAS证△ABM≌△CDN，得到∠A＝∠DCN，∴AM∥CN.

　　13.可用AAS证明△ABC≌△AED，∴AD＝AC.

　　14.略15.（1）略（2）全等三角形的对应角平分线相等.（3）略

　　16.(1)∵∠AEC＝∠ACB＝90°∴∠CAE+∠ACE＝90°∴∠BCF+∠ACE＝90°

　　∴∠CAE＝∠BCF∵AC＝BC∴△AEC≌△CFB

　　∵△AEC≌△CFB∴CF＝AE，CE＝BF∴EF＝CF+CE＝AE+BF

　　①∵∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°∴∠ACE＝∠CBF

　　又∵AC＝BC∴△ACE≌△CBF∴CF＝AE，CE＝BF∴EF＝CF－CE＝AE－BF②EF＝BF－AE

　　③当MN旋转到图3的位置时，AE.EF.BF所满足的等量关系是EF＝BF－AE(或AE＝BF－EF，BF＝AE+EF等)

　　∵∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°∴∠ACE＝∠CBF，又∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBF，∴AE＝CF，CE＝BF，∴EF＝CE－CF＝BF－AE.

　　12.2三角形全等的判定（4）

　　1.AB=AC，AAS.2.33.C

　　4.可用HL证明△ABD≌△CDB，∴AB＝DC，∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.

　　5.连接CD，可用HL证明全等，所以AD＝BC

　　6.可用HL证明全等，所以∠BAC＝∠E，∠AFE＝180°－∠E－∠FAE=180°－∠BAC－∠FAE=90°.

　　7.依题意可用HL证明△ADE≌△CBF，∴∠DAE＝∠BCF，可证△ADC≌△CBA（SAS），∴∠DCA＝∠BAC∴AB∥DC.

　　8.可利用HL证明△OPM≌△OPN，∴∠POA＝∠POB，OP平分∠AOB

　　9.（1）可利用HL证明△ABF≌△CDE，∴BF＝DE，可利用AAS证明△OBF≌△ODE，∴BO＝DO.（2）成立，证明方法同上，略

　　12.2三角形全等的判定（5）

　　1.AC=DF，HL（或者BC=EF，SAS；或者∠A＝∠D，ASA；或者∠C＝∠F，AAS）

　　2.是全等，AAS.3.A4.C5.C6.C

　　7.先用HL证△ABF≌△ACG，得到∠BAF＝∠CAG，∴∠BAF－∠BAC＝∠CAG－∠BAC即∠DAF＝∠EAG再用AAS证△GAE≌△DAF，得到AD＝AE.

　　8.先用SSS证△AED≌△ABE，得到∠DAE＝∠BAE，再用SAS证△DAC≌△BAC，得

　　A到CB＝CD.BC

　　9.先用等角的余角相等证明∠C＝∠F，再用ASA证△ABC≌△DFE，得到AC＝EF

　　10.可用SAS证全等，所以BD＝CE.

　　11.（1）可证△OAB≌△OCD，∴OA=OC，OB=OD，∴AC与BD互相平分；

　　（2）可证△OAE≌△OCF，∴OE＝OF.

　　12.可利用AAS证明△BCE≌△BDE，∴BC＝BD.可证△ABC≌△ABD，∴AC=AD.13.7个

　　12.3角平分线的性质（1）

　　1.C2.2cm3.4.4.15cm5.略6.略7.可用SSS证△ABD≌△ACD，∴∠B＝∠C，可用AAS证△EBD≌△FCD，∴DE=DF8.略

　　9.∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2.∴OD=OE，可利用ASA证明△BOD≌△COE，∴OB＝OC.

　　10.（1）△ABP与△PCD不全等.理由:不具备全等的条件.（2）△ABP与△PCD的面积相等.理由：等底等高.

　　11.证明：连接BE、CE，可证△BED≌△CED（SAS）从而可证Rt△EBF≌Rt△ECG（HL）∴BF＝CG.

　　12.作△ABC的角平分线BP，图形略13.（1）4处；（2）略

　　12.3角平分线的性质（2）

　　1.D2.B3.A4.∠A5.18°6.307.相等(OP=OM=ON)

　　8.可利用SAS证明△OAD≌△OBD，∴∠ODA＝ODB，∵点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N，∴CM＝CN.9.与教材例题方法同，略10.依题意，AB＝CD，并且△PAB的面积D与△PCD的面积相等，可证PE=PF.

　　E∴射线OP是∠MON的平分线.A11.1∶4.

　　CM12.（1）过点M作ME⊥AD于E，DM平分∠ADC，∠B＝∠C＝90°，B

　　可得MB⊥AB，MC⊥CD，∴MC=ME，又M是BC的中点，A∴MB=MC，∴MB=ME，∴AM平分∠DAB

　　M（2）垂直.证明略NF13.过点D作DM⊥AB于M，DM⊥AB于M，CBD可用AAS证明△DEM≌△DFN.∴DE=DF.

　　第十二章综合练习

　　1.C2.B3.C4.C5.B6.B7.D8.D9.6010.7cm，2cm，20°11.110°.

　　12.1<AD<3.13.可证△ADE≌△BFE（AAS）∴AE＝BE

　　14.先证△AOC≌△BOD，再证△ACE≌△BDF，或△COE≌△DOF

　　∴CE＝DF

　　15.AD是△ABC的中线

　　证明：由△BDE≌△CDF（AAS）

　　∴BD＝CD∴AD是△ABC的中线.

　　16.Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)∴AF?CE∠C＝∠A，∴AB∥CDE

　　17.倍长中线，略BDC