不定积分在高等数学中占有非常重要的地位,不管是在教师资格考试还是教师招聘考试中都有出题,另外不定积分的学习为以后学习定积分计算打下了坚实的基础,所以对于这方面的内容,下面是小编精心收集的不定积分的方法总结,希望能对你有所帮助。
不定积分的方法总结
教学过程:
在实际问题的解决过程中,我们不仅要用到求导数和微分,还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本问题之一-----求不定积分.
一、原函数
1.引例1:已知物体运动方程s s(t),则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的函数v v(t),求物体的运动方程s s(t),使它的导数s (t)等于v v(t),这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P是时间t的函数P P(t),则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P (t).反之,若已知某产量的变化率是时间t的函数P (t),求该产品产量函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.
2.【定义5.1】(原函数)设f(x)是定义在区间I上的函数.若存在可导函数F(x),对 x I均有F (x) f(x)ordF(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.
例如:由(sinx) cosx知sinx是cosx的一个原函数;又(sinx 5) cosx,(sinx c) cosx(c是常数),所以sinx 5,sinx c也都是函数cosx的一个原函数.
再如:由(2x3) 6x2知2x是6x的一个原函数;32
(2x3 c) 6x2,所以2x3 c(c是常数)也是6x2的一个原函数.
注意:没有指明区间时,应默认为区间就是函数定义域.
二、不定积分
1.原函数性质
观察上述例子知:函数的原函数不唯一,且有性质
(1)若f(x) C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).
(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则F(x) C都是f(x)的原函数,其中C为任意常数.
(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则
F(x) G(x) C.
证明: F(x) G(x)
F (x) G (x) f(x) f(x) 0.
C R, s.t.F(x) G(x) C.
(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数为F(x) C(其中C为任意常数).2.【定义5.2】函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作 C R,s.t. f(x)dx.
即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有 f(x)dx F(x) C,C为任意常数.
说明:(1) ---积分号;(2)f(x)---被积函数;
(3)f(x)dx----被积表达式.(4)x----积分变量.
3.结论:
①连续函数一定有原函数.
②f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.
提问:初等函数在其定义区间上是否有原函数?例:edx,sinxdx, x2 2sinx xdx)
(一定有原函数,但原函数不一定还是初等函数.)例1求(1)3xdx;(2)x5dx. 2
解(1)∵(x) 3x,∴32233xdx x C.
x6 x6
55(2) C. x, xdx 6 6
例2求解1 1 x2dx. arctanx 1,21 x
1 1 x2dx arctanx C.
1提问: dx arccotx C对吗?1 x2
1例3求 dx.x
11解: (lnx) , dx lnx C.xx
例4:某商品边际成本为100 2x,则总成本函数为C(x) (100 2x)dx 100x x2 C.
3.导数与不定积分的关系
f (x)dx f(x) C.
(1)* df(x) f(x) C.(1)
df(x)dx f(x). dx
(2)*d f(x)dx f(x)dx.(2)
可见:微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
提问:如何验证积分的结果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)
二、不定积分的几何意义
如图: f(x)dx F(x) C,
函数f(x)的不定积分表示
斜率为f(x)的原函数对应的
一簇积分曲线.在同一点x0处
积分曲线簇的切线平行.
此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到.积分曲线:函数f(x)原函数y F(x)的图形称为f(x)
的积分曲线.
不定积分的几何意义:f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x) C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.
例5设曲线通过点P(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线为y f(x),依题意知
x2dy 2x,dx 2x, 2xdx x2 C,
2于是f(x) x C,
由f(1) 2 C 1,
所求曲线方程为y x 1.
提问:如何验证积分的结果是正确的?(结果求导必须是被积函数)
小结:
1.F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数F(x) c为f(x)的不定积分,即2
f(x)dx F(x) c
2.注意当积分号消失时常数c产生.
3.熟记积分公式,注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分.
课后记:存在的问题不能正确理解几何意义;计算错误较多,找不对原函数,写掉积分常数C.
【提问】判断下列结论是否正确
(不正确说明理由)
(1)3dx 3x C.(2)xdx
(3)
515x C6 C.
(4) 1
x2 1x C.(5) 1
x lnx C.
(6) 5xdx 5xln5 C.
(7) 2exdx ex C.
(8) 2sinxdx cosx C.(9) 1
1 x2dx arctanx c arccotx C.
(10) sec2xdx tanx C.
(11) csc2xdx cotx C.
(12) arcsinx C arccosx C.
(13) secxtanxdx secx C.
(12) cscxcotxdx cscx C.